反比例の式の求め方

例）ｙはｘに反比例し、ｘ＝２のときｙ＝４である。

このとき、

①ｙをｘの式で表せ

②ｘ＝４のとき、ｙの値を求めよ

解①
$\displaystyle y = \frac{ a }{ x }$とおいて、$x=2,y=4$ を代入すると、

$\displaystyle 4= \frac{ a }{ 2 }$
$a=8$ よって、$\displaystyle y= \frac { 8 }{ x }$
②
$x=4$ を $\displaystyle y= \frac{ 8 }{ x }$ に代入して、　　$\displaystyle y= \frac{ 8 }{ 4 } =2$
よって、$y=2$

さらにいくつかパターンを見ていきましょう。

（１）ｙはｘに反比例し、$x=2$ のとき $y=-6$である。
　　　ｙをｘの式で表せ。

$\displaystyle y= \frac{a}{x}$に、$x=2 , y=-6$ を代入すると、

$\displaystyle -6= \frac{a}{2}$
$a=-12$ 　　　よって、$\displaystyle y= -\frac{12}{x}$

（２）ｙはｘに反比例し、$\displaystyle x= \frac{1}{2}$ のとき $y=6$である。
　　　①ｙをｘの式で表せ。

　　　②$\displaystyle y=\frac{2}{3}$ のときのｙの値を求めよ。

①
$\displaystyle y= \frac{a}{x}$とおいて、ｘ・ｙに代入

ｘが分数なので、式を $xy=a$の形に変えてから代入

$\displaystyle y= \frac{1}{2} \times 6=a$

$a=3$ 　　　よって　$\displaystyle y= \frac{3}{x}$

①
$\displaystyle y= \frac{3}{x}$ に $\displaystyle x= \frac{2}{3}$ を代入

ｘが分数なので、式を $xy=a$ の形に変えてから代入

$xy=3$になるので、$\displaystyle \frac{2}{3}y=3$

$\displaystyle y= \frac{9}{2}$

とにかく、反比例の式を覚えておき、それに代入すればできます。

ちなみに、（２）には別解があります。

（別解）

$\displaystyle y= \frac{a}{x}$ は、$a=xy$のように式を変化させ、代入すればすぐに出る！
（２）
①
$\displaystyle a= \frac{1}{2} \times 6=3$

$\displaystyle y= \frac{3}{x}$

②
$3=xy$ に $\displaystyle x= \frac{2}{3}$ を代入

$\displaystyle \frac{2}{3}y=3$

$\displaystyle y= \frac{9}{2}$

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