（１）素因数分解
素数…１とその数自身の２つでしか割れない数。
（例）２，３，５，７，１１，１３，１７，１９…
※１は素数ではない！
素因数分解…数を素数の積で表すこと。
（例）６＝２×３
６０＝２２×３×５
（約数と素因数分解）
３０の約数を求めよ。
３０＝２×３×５ …２，３，５を使ってできる数は？
２、 ２×３ ２×３×５
３、 ２×５
５ ３×５
答え１、２、３、５，６，１０，１５，３０
（約数の個数の求め方）
Ａ＝ａｈ×ｂｈ
Ａの約数の個数＝（ｎ+１）×（ｍ＋１）
（例）
２４の約数の個数
２４＝２３×３１
約数の個数
＝（３＋１）×（１＋１）
＝４×２
＝８
∴８個
（２）2乗と素因数分解
１４４は何の２乗か
１４４＝２４×３２ ←素因数分解するだけならここまででOK
＝２２×３×２２×３
＝１２２
※２４×３２をさらにばらすと、２２×２２×３２となります。
このように、素因数分解して、すべての数字が2乗になるものは、必ず何かの数値の2乗という形に表すことができます。
☆２乗の数
⇒素因数分解をすると、
Ａ×Ｂ×Ｃ × Ａ×Ｂ×Ｃ のように
同じかたまりが２つできる!!
問 ①２２５
＝３×５×３×５
＝１５２
②２５６
＝２４×２４
＝１６２
③３２４
＝２×３２×２×３２
＝１８２
問 次の数にある数をかけて整数の２乗にしたい。
最も小さい数を求めよ。
①１２
＝３×２２
Ａ:３
※この問題は、ある数の2乗になる数は、素因数分解した場合、すべての数が2乗になるという性質を利用したものです。
①の場合は、２はすでに2乗になっているので、残った３が2乗になりさえすれば、何かの2乗になるはずなので、答えは３となります。
②６０
＝５×３×２２
Ａ:１５
※この場合は、2乗になっていない数が２つ、５と３があります。
では、すべて2乗にするには、５と３をさらにかけてあげる必要があります。
なので３×５＝１５となります。
（３）公式の利用
例）次の式の計算をせよ。
①８５２－１５２
②９８２
③５０×６．８－５０×１．８
普通なら、この計算は面倒くさいですが、時間をかけて解くこともできます。
しかし、これらは今までやってきた乗法公式を使って計算すると、とても簡単に解くことができます。
早速見てみましょう。
①８５２－１５２
この式は、あの形に似ています。
Ａ２－Ｂ２＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ－Ｂ） ←これを使います
８５２－１５２＝（８５＋１５）（８５―１５） ←文字では分配法則を使いますが、すべて数値なので（）を先に計算します
＝１００×７０ ←簡単になりました
＝７０００
②９８２
この式も、見覚えのある式に変形できます。
＝（１００－２）２ ←この形は見覚えあるでしょう
（Ａ－Ｂ）２＝（Ａ－２ＡＢ＋Ｂ２）
（１００－２）２＝１００２－２×１００×２＋２２
＝１００００－４００＋４
＝９６０４
③５０×６．８－５０×１．８
ＡＢ－ＡＣ＝Ａ（Ｂ－Ｃ）
５０×６．８－５０×１．８＝５０（６．８－１．８）
＝５０×５
＝２５０
（４）式の値
①ｘ＝９８のとき、ｘ²＋４ｘ＋４の値を求めよ。
ｘ２＋４ｘ＋４を簡単にしてから代入する！
＝（ｘ＋２）２
＝（９８＋２）２
＝１００００
②ｘ＋ｙ＝－５、ｘｙ＝３のとき、ｘ２＋ｘｙ＋ｙ２の値を求めよ。
ｘ２＋ｘｙ＋ｙ２は
ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２に似ている→同じ形にしてしまう！
ｘ２＋ｘｙ＋ｙ２＝（ｘ＋ｙ）２－ｘｙ ←ｘ２＋ｘｙ＋ｙ２は、ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２からｘｙを引いた形になるので
＝（－５）２－３
＝２２
※ｘ＋ｙを２乗して、後で帳尻合わせ！
※ｘ２＋ｙ２＝（ｘ＋ｙ）２－２ｘｙ⇒これを【対称式】という。
問 ①ｘ＝5.7、ｙ＝4.3のときｘ２－ｙ２の値
（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＝（5.7＋4.3）（5.7－4.3）＝14
②ｘ＋ｙ＝－３、ｘｙ＝１のとき、ｘ２＋３ｘｙ＋ｙ２の値
ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２＋ｘｙ
＝（ｘ＋ｙ）２＋ｘｙ＝（－３）２＋１＝１０
③ｘ＋ｙ＝－４、ｘｙ＝２のとき、ｘ２＋ｙ２の値
＝（ｘ＋ｙ）２－２ｘｙ＝（－４）２－２×２＝１２
④ｘ＋ｙ＝－４、ｘｙ＝３のとき、（ｘ－ｙ）２の値
（ｘ－ｙ）２
＝ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２
＝ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２－４ｘｙ
＝（ｘ＋ｙ）２－４ｘｙ＝（－４）２－４×３＝４
（５）式による説明
問）連続した２つの偶数の積に１を足した数は、その間の奇数の２乗になることを説明せよ。
今までもやりました、連続する数です。文字で表現する方法としていくつかありました。おさらいします。
解）連続した偶数…２ｎ、２ｎ＋２
間の奇数 …２ｎ＋１ とおく。
２つの偶数の積に１を足すと、(⇒とりあえず式で表してみる)
２ｎ×(２ｎ＋２)＋１
＝４ｎ２＋４ｎ＋１
間の奇数の２乗は
(２ｎ＋１)２
＝４ｎ２＋４ｎ＋１
よって等しくなる。
問）連続する２つの整数の２乗の差は、その２数の和に等しいことを説明せよ。
連続する２数…ｎ、ｎ＋１とおく。
２乗の差は、(ｎ＋１)２－ｎ２
＝ｎ２＋２ｎ＋１－ｎ２
＝２ｎ＋１
２数の和は、ｎ＋１＋ｎ
＝２ｎ＋１
よって等しくなる。
問）半径ｒｍの土地の周りに幅αｍの道があり、道の中央を通る線の長さがℓｍの道の面積Ｓ㎡とする。Ｓ＝αℓとなることを証明せよ。
※ここで求められているものは何か→①円の面積Sと②円周ℓ
→S,ℓをそれぞれ計算する。
\( 解） 面積S= \pi (r+a)^2- \pi r^2=\pi (r^2+2ar+a^2)-\pi r^2=2\pi ar+\pi a^2 \)
\( \displaystyle 線ℓ= 2\pi (r+\frac{a}{2} )=2\pi r+\pi a=2\pi ar+\pi a^2 \)
\( よって、S=aℓ となる \)
問）１辺の長さaの正方形の土地のまわりに幅bの道があり、道の中央を通る線の長さℓ、道の面積Sのとき、S＝ｂℓを説明せよ。
解）面積S＝(a＋２b) ２－a２
＝a２＋４ab＋４b２－a２＝４ab＋４b²
線ℓ＝４×(a＋b)＝４a＋４b bℓ＝b(４a＋４b)＝４ab＋４b²
よって、S＝bℓとなる。
