因数分解…展開の逆、と考えておいていいです。

a(x+2)→ax+2a →これを展開という

ax+2a→a(x+2) →これを因数分解という

(1)共通因数のくくりだし←これも因数分解

5ax+6ay=a(5x+6y)

※この場合、aが共通しているので、aで割った状態になります

3ab+6bx+12b=3b(a+2x+4)

※すべての項に共通な文字、数字(共通因数)を()かっこの外に出す

①2xy+10y2 =2y(x+5y)

②5a+10ab+15ac=5a(1+2b+3c)←1は残るので注意!(5aを5aで割っているので)

③3xy-9x+36xy=3xy(x-3xy+12) 

④15mn-6mn+45mn=3mn(5-2m+15n)

(2)x+Ax+B形

 この形の場合、例えば(x+4)(x+1)で考えると、展開したらx+5x+4になります。乗法公式で考えると、5は4と1を足してできた数、4は4と1をかけてできた数になります。この法則を利用します。

①x+6x+8

→足すと6,かけると8になる2つの数を探す…この場合は4と2

=(x+4)(x+2)

②x-10x+16

→足すとー10、かけるとー16になる2つの数…ー2とー8

=(x-2)(x-8)

※x+Ax+Bの因数分解

たしてA、かけてBとなる2つの数a、bを探して、(x+a)(x+b)の形に変形する!

(Bから考えるようにしましょう)

①x-8x+15    

→足してー8、かけて15になる数、最初にかけて15になる数の候補を挙げます

→「1・15」「3・5」「ー3・ー5」「ー1・ー15」 この中から足してー8になる数を見つけます。 

=(x-3)(x-5)

②a-13x+42   

→足してー13、かけて42になる数、最初にかけて42になる数を挙げます

→「1・42」「2・21」「3・14」「6・7」「ー1・ー42」「ー2・ー21」「ー3・ー14」「ー6・ー7」  

=(a-6)(a-7)

③x+11x-60 

→「1・60」「2・30」「3・20」「4・15」 

=(x+15)(x-4)

④x-8xy+12y 

=(x-2y)(x-6y)

(3)A+2AB+B

+10x+25=(x+5)

このパターンは2倍して10,2乗して25になる数を出して乗法公式の逆に当てはめるものです。

(4)A-2AB+B

-10x+25=(x-5)

このパターンも(3)と同じ方法で乗法公式に当てはめます。

※A+2AB+B=(A+B)

 A-2AB+B=(A-B)

 前と後が2乗になるのがポイントになります

(5)A-B

-36=(X+6)(X-6)

 このパターンでは、xが2乗、36が6の2乗になっている状態です。その2乗になっている2つの項がーで繋がっている状態の場合、この公式が当てはまります。→「2乗の差」という

※A²-B²=(A+B)(A-B)

二乗の差→和と差の積

気を付けてほしいのはA²+B²ではできないということです。

①x-81             

=(x+9)(X-9)

②x-144

=(x+12)(x-12)

③a-1/4          

※1/4は(1/2)になるので           

=(a+1/2)(a-1/2)   

④x-9y

※9y²は(3y)

=(x+3y)(x-3y)

(6)いろいろな因数分解

①2乗の文字の係数が1以外

(例)2x+8x-24

  ※共通因数(2)が出てくる

=2(x+4x-12)→()内が因数分解できる!

=2(x+6)(X-2)

(例)9x+24x+16

 =(3x)+2×3x×4+(4)2    →A+2AB+B=(A+B)形になる!

 =(3x+4)2             

※係数が1以外の因数分解

 ①共通因数でくくって因数分解する

 ②(A+B)形、(A-B)形をみつける

例①3xy+6xy-9y

   =3y(x+2x-3)

   =3y(x+3)(x-1)

例②16x-40xy+25y²

 =(4x-5y) 

例③4(x+6x+9)

 =4(x+3)

4x+24x+36=(2x+6)

はダメ!!

展開して整理→因数分解

( 例)(x+1)(x-4)+6x     →一度展開する         ­­        

   =x-3x-4+6x   →計算して整理

   =x+3x-4

   =(x+4)(x-1)    →因数分解

(例)(x+3)-2(x-1)-7

=x+6x+9-2x+2-7

=x+4x+4

=(x+2)

④共通部分をつくる⇒くくり出し⇒因数分解

(例)ax+2x+ay+2y     →ax+2xをxでくくり、ay+2yをyでくくる

x(a+2)+y(a+2)    →すると、(a+2)が共通なので 

=(a+2)(x+y)       

(例)xy-xz-zy+z²   →xy-xzをxでくり、-zy+z²を-zでくくる

=x(y-z)-z(y-z)     → (y-z)が共通

=(y-z)(x-z)    

発展

①x²-6x+9-xy+3y   →x²-6x+9は因数分解、-xy+3yはyでくくる

=(x-3)-y(x-3)   →(x-3)をAに

=A-yA     →Aでくくる

=A(A-y)     →元に戻す

=(x-3)(x-3-y)

②x-6xy+9y-x+3y-12

=(x-3y)-(x-3y)-12

=A-A-12

=(A-4)(A+3)

=(x-3y-4)(x-3y+3)

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